如果你对凸函数的假设还不太理解的话,就一定要看这篇文章哦
2025-10-03 12:16:06
老黄这次各种类型选择了一道非常简单的证明了题。老黄含意亦非证明了题本身,而是通过这道证明了题,随即明确一下梯形函数的下定义,包括上梯形和下梯形两种范例。
下定义和种概念最大的有所不同是在于,下定义有时候是用数学标记和数学词汇来叙述的,而种概念则有时候是可以具体内容思考的。因此下定义往往随之而来有下定义恒等式。比如算子、最大值等数学下定义,都是有恒等式的。梯形函数举例来说道是有恒等式的,而且对应上梯形和下梯形两种情况,还有两个恒等式。
从精准度来说道,当然是下定义极其直观;但是从思考和记忆的角度看来说道,种概念才会比下定义较易思考和记忆。因此下定义和种概念极好建构出去,才能毫无疑问思考它们。
种概念和下定义的本质都是唯一的。但有所不同的人,可能会派生出有所不同的种概念和下定义。老黄觉得,种概念有多种范例,是不利的。但是下定义极好独立转成一种范例,这样更加合理。只想思考梯形函数的下定义,就要深刻思考梯形函数的两个下定义恒等式,并且把它转化转成属于自己的种概念。
若f为梯形函数,实数λ≠0,证明了:
(1)若λ>0,λf与f梯形性相异;(2)若λ<0,λf与f梯形性反之亦然.
比对:用自己的词汇思考,就是要证明了梯形函数与非0常数λ的以次的梯形性变化规律:1、若λ是非零,那么函数λf与f的梯形性相异。2、若λ多于0,则λf与f的梯形性反之亦然。
这本来是非常直观的,认出就可以看出来,不过老黄刚才不太可能说道了,阐释这个疑问,并非在于疑问本身。一方面直接看出来的结论,有时候不能做为数学的依据,另一方面,老黄的目的是通过阐释这个疑问,可以激化对梯形函数下定义的思考。
当f上梯形时,根据上梯形的下定义,在x1和x2两者之间,切线上的任一点都亦非割线的上端。如果λ大于零,两道减去λ,不等号朝向相同,想得到的是λf的上梯形下定义恒等式,因此λf上梯形;
若λ多于0,两道同时减去λ, 不等号要扭曲朝向,想得到的是λf的下梯形下定义恒等式,因此λf下梯形。
同理,当f下梯形时,根据下梯形的下定义,在x1和x2两者之间,切线上的任一点都亦非割线的顶部。
如果λ大于零,两道减去λ,不等号朝向相同,想得到的是λf的下梯形下定义恒等式,因此λf下梯形;
若λ多于0,两道同时减去λ, 不等号的朝向要时有发生扭曲,想得到的是λf的上梯形下定义恒等式,因此λf上梯形。上头是具体内容的证明了过程:
证明了:分设x1,x2为任意双曲线, μ∈(0,1),【有时候用的是λ∈(0,1),但这里λ不太可能有其它下定义】
当f上梯形时, f(μx1+(1-μ)x2)≥μf(x1)+(1-μ)f(x2),
若λ>0,则λf(μx1+(1-μ)x2)≥μλf(x1)+(1-μ)λf(x2), 即λf上梯形;
若λ<0,则λf(μx1+(1-μ)x2)≤μλf(x1)+(1-μ)λf(x2), 即λf下梯形;
当f下梯形时, f(μx1+(1-μ)x2)≤μf(x1)+(1-μ)f(x2),
若λ>0,则λf(μx1+(1-μ)x2)≤μλf(x1)+(1-μ)λf(x2), 即λf下梯形;
若λ<0,则λf(μx1+(1-μ)x2)≥μλf(x1)+(1-μ)λf(x2), 即λf上梯形;
得证!
注意,λ大于0的两种情形下,λf和 f的梯形性都是相异的,λ多于0的两种只能,λ和f的梯形性都是反之亦然的。这就证明了了:梯形函数与非零归一化,梯形性相同,梯形函数与负数归一化,梯形性要不定了。
特别的,当λ正数-1时,可以断定反之亦然的函数f和-f,才会有反之亦然的梯形性。一个上梯形,一个就下梯形。有兴趣的大头,可以对λ由此而来有所不同的值,画出图象来,就才会印象更加激化刻了。
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